중1 수학 - 2강 지수, 약수, 배수, 소인수 분해

 

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지수 (Power)

 

지수를 사용하는 방법을 알아봅시다.

예를 들어, 4 x 4 x 4 를 지수로 나타내는 방법을 알아봅시다.

지수와 지수의 밑은 아래와 같습니다:

 

1차원으로 4^3 같이 표현

 

4의 3승을 글로 표현하기 어렵기 때문에 4 ^ 3 표현하니 이해하시기 바랍니다.

글 쓰는 것이 문제를 푸는 것 보다 훨씬 어렵네요.

오른쪽 위의 작은 숫자 3을 지수라고 부릅니다.

지수 밑에 있는 숫자4를 밑이라고 부릅니다.

이 예제에서는 4가 밑이고 3이 지수입니다.

아래의 수는 밑이 7이고 지수가 5인 수입니다:

7 ^ 5 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7

지수는 밑수를 몇 번 곱해야 하는지 나타냅니다.

이 예제에서 5는 밑인 7을 5번 곱해야 한다는 것을 의미합니다.

 

소인수 분해

소인수분해는 수학에서 매우 흥미로운 개념입니다!

이는 합성수를 해당 숫자의 구성 요소인 소수로 분해하는 과정입니다.

작동 방식은 다음과 같습니다.

 

소수: 소수는 정확히 두 개의 서로 다른 양의 약수(1과 자기 자신)를 갖는 1보다 큰 정수입니다. 예를 들면 2, 3, 5, 7, 11 등이 있습니다.

 

합성수: 소수를 곱하여 만들 수 있는 1보다 큰 수입니다.

예를 들어 6은 2×3으로 표현할 수 있으므로 합성수이다.

 

소인수분해: 합성수의 소인수분해를 찾으려면 합성수를 가능한 가장 작은 소수로 나누는 것부터 시작합니다. 숫자가 나누어지면 더 이상 나눌 수 없을 때까지 계속 나눕니다. 소인수를 찾을 때마다 그것을 적어보세요. 이 과정은 소인수만 남을 때까지 계속됩니다.

 

예를 들어, 24의 소인수분해를 찾아보겠습니다.

가장 작은 소수인 2로 시작합니다. 24 / 2 = 12.

12는 2로도 나누어집니다. 12 / 2 = 6.

6은 다시 2로 나누어집니다. 6 / 2 = 3.

3은 그 자체로 소수이므로 여기서 멈춥니다.

24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2 ^ 3 × 3으로 표기합니다.

이는 24가 특정 거듭제곱의 소수 2와 3의 곱으로 표현될 수 있음을 의미합니다.

 

합성수 24는 1 x 24 , 2 x 12, 3 x 8, 4 * 6 으로 표현 할 수 있습니다.

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24는 합성수 24의 약수 입니다.

 

약수(divisor)

약수는 다른 숫자를 정확하게 나눌 수 있는 숫자입니다. 간단히 말해서, 한 숫자를 다른 숫자로 나누고 나머지가 없는 정수를 얻으면 두 번째 숫자는 첫 번째 숫자의 약수가 됩니다.

약수는 남은 숫자 없이 다른 숫자를 나눌 수 있는 숫자입니다.

한 수를 다른 수로 나눌 때, 나눗셈으로 인해 나머지가 없는 정수가 나온다면,

나눈 수는 원래 수의 약수입니다.

예를 들어, 10개의 사과가 있고 이를 5명의 친구에게 균등하게 공유하고 싶다면 10을 5로 나누면 2가 되기 때문에 각 친구는 2개의 사과를 받습니다. 10 / 5 = 2

이 경우 5는 10을 2개의 그룹으로 균등하게 나누기 때문에 2와 5는 10의 약수입니다.

그 반대로 10은 2의 배수이며, 5의 배수 이기도 합니다. 2 x 5 = 10

약수는 수학의 기본이며 인수 찾기, 소수 결정, 분수 단순화, 방정식 풀기 등 다양한 수학 연산에 사용됩니다.

 

 

배수(multiple)

배수는 숫자에 정수를 곱하면 얻을 수 있는 것입니다.

특정 숫자 간격으로 수직선 위로 점프하는 것과 같다고 생각하세요.

예를 들어 3의 배수는 다음과 같습니다.

 

3 × 1 = 3

3 × 2 = 6

3 × 3 = 9

등등...

 

숫자의 배수는 무한정 계속됩니다.

원하는 만큼 커질 수 있습니다. 계속해서 더 큰 숫자를 곱하면 됩니다!

 

배수를 찾는 방법

★ 2의 배수를 찾는 방법 : 숫자의 마지막 숫자가 0이거나 짝수인 수

예) 12, 28, 30

 

☆ 3의 배수를 찾는 방법 : 모든 자리의 숫자의 합이 3의 배수인 수

예) 123 = 1+2+3 = 6 -> 3의 배수, 124 = 1+2+4=7 -> 3의 배수가 아니다

 

★ 4의 배수를 찾는 방법 : 마지막 2자리수가 00 이거나 4의 배수 인수. 참고로 100 = 4 x 25

예) 200 은 마지막 두자리가 00 이므로 4의 배수, 392는 마지막 2자리수 92가 4의 배수 이므로 4배의 배수, 1154 는 마지막 두자리수 54가 4의 배수가 아니므로 4의 배수가 아니다.

 

☆ 5의 배수를 찾는 방법 : 마지막 숫자가 0이거나 5인 수

 

★  6의배수를 찾는 방법 : 6 = 2 * 3 쉽게 생각해 보면 2의 배수 이면서 3의 배수인 수, 즉 8의 배수인 짝수

54는 5+4 = 9 -> 3의배수 그리고 짝수. 그러므로 6의 배수

 

☆ 8의배수를 찾는 방법 : 마지막 3자리수가 000 이거나 8의 배수인 수. 참고로 1000 = 8 x 125

1116 에서 116은 8의 배수 이므로 8의 배수

 

★ 9의 배수를 찾는 방법 : 모든 숫자의 합이 9의 배수 인수

126은 1+2+6=9 9는 9의 배수 그러므로 126은 9의 배수이다.

1234567 은 (1+2+3+4+5+6+7 = 28) 그러므로 9의 배수가 아니다.

1234566은 (1+2+3+4+5+6 + 6 = 27) 27은 9의 배수, 그러므로 9의 배수이다

 

☆ 11의 배수를 찾는 방법 : | (짝수자리 수의 합) – (홀수자리 수의 합) | 절대값이 0이거나 11의 배수인 수

12342는 (4+2) – (1+3+2) = 6-6 = 0 그러므로 11의 배수이다.

121 = (1+1) – 2 = 0 11의 배수, 122 는 (1+2) – 2 = 1 그러므로 11의 배수가 아니다.

 

배수찾기를 배우는 이유

배수 찾기를 배운 이유는 약수를 찾기 위해서

A = B x C (A, B, C 는 양의 정수)

B, C는 A의 약수 이며, A는 B와 C의 배수이다.

 

이때까지 배운 것을 토대로 합성수의 소인수 분해를 해보자

112 = 2 x 56 = 2 x 8 x 7 = 2 x 2 ^ 3 * 7 = 2 ^ 4 x 7

117 = 117은 9의 배수

= 9 x 13 = 3 ^ 2 * 13

 

소인수분해하면 약수의 갯수를 알수 있다 

소인수 분해를 마치면 약수의 개수가 몇 개 인지 알 수 있다.

 

합성수 a = 2 ^ b x 3 * c * 5 x 7 이라면

각각의 소수의 (지수+1)을 곱한수가 약수의 개수다.

약수의 개수는 (b+1) x (c+1) x (1+1) x (1+1) 입니다

 

어떤 수가 2 * 3 x 3 ^ 2 x 7 ^ 2 x 13 일때 약수의 개수는

(2의지수 + 1) x (3의지수 + 1) x (7의지수 + 1) x(13의지수 + 1) =

(3+1) x (2+1) x (2+1) x (1+1) = 4 x 3 x 3 x 2 = 72개 입니다.