꼬리에 꼬리를 무는 수학

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자연수 (Natural number)

​자연수는 수를 세는 데 사용하는 수를 의미합니다.

쉽게 말해, 1부터 시작하여 무한히 이어지는 양의 정수를 생각하면 됩니다.

1, 2, 3, 4, …

- 0은 자연수가 아닙니다.

- 자연수 끼리 더하거나 곱하면 자연수입니다.

- 자연수 끼리 빼면 자연수가 아닐 수 있습니다.

작은 수에서 같은 수를 빼면 0이되고, 큰 수를 빼면 음의 정수가 됩니다.

 

소수 ( prime number )

소수는 1보다 큰 자연수 중 1과 그 수 자신만을 약수로 가지는 수입니다.

다시 말해서 약수가 2개인수는 소수 입니다. 몇 개? 두개 !!

100이하의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 이며,

외울 필요는 없고 혼자서 공책에 한번씩 써보세요. (1분 이내로 쓸 때 까지)

4는 1, 2, 4로 나누어 떨어지므로 소수가 아닙니다.

6은 1, 2, 3, 6으로 나누어 떨어지므로 소수가 아닙니다.

1은 소수가 아닙니다. 약수가 1개 (1 = 1 * 1)

2는 유일한 짝수 소수입니다. 2 = 1 * 2

소수의 개수는 무한합니다.

아직까지 발견되지 않은 소수가 무궁무진하게 존재합니다.

소수를 찾는 방법으로 “에라토스테네스의 체“ 가 유명한데,

이는 2부터 시작하여, 2의 배수를 모두 제거하고, 다음 3의 배수를 제거하고, 다음 소수의 배수를 모두 체로 걸러내는 방식으로 소수를 찾는 방법입니다.

다른 방법도 있는데 알면 머리 아프니 생략합니다.

​

합성수란 ( composite number )

1) 1은 소수도 합성수도 아니다.

합성수는 약수가 3개 이상수를 합성수라 한다.

복잡하게 외우지 말고 몇 개? 3개 이상

2) 2보다 큰 모든 짝수는 합성수입니다.

짝수는 최소한 1, 2, 자기 자신의 세 수를 약수로 갖기 때문입니다.

3) 모든 합성수는 두 개 이상의 소수만의 곱으로 나타낼 수 있다.

이것을 ​소인수분해​라고 합니다.

 

 

 

 

 

소인수분해

소인수 분해 : 합성수를 소수 만의 곱으로 표시하는 것

600을 소인수 분해하면

600 = 300 * 2 = 150 * 2 * 2 = 75 * 2 * 2 * 2 = 25 * 2 * 2 * 2 * 3 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 2 ^ 3 * 3 * 5 ^ 2

작은 소수부터 차례로 나누면 됨.

어떤 수가

 

약수(divisors)와 배수(multiples)

합성수는 A = B * C 라고 할 때

숫자 A는 숫자 B나 숫자 C의 배수 이고

숫자 B나 숫자 C는 숫자 A의 약수 이다

 

<1> 18의 약수를 모두 구하세요

18 = 2 * 9 = 3 * 6 = 1 * 18

이를 토대로 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18

 

<2> 24의 약수를 모두 구하세요

24 = 1 * 24 = 2 * 12 = 3 * 8 = 4 * 6 

이를 토대로 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

 

공약수 와 최대 공약수

 

공약수 (common divisors): 두개 이상의 수에 공통으로 존재하는 약수

위에서 우리는 18과 24의 약수를 모두 구했습니다.

공통으로 들어간 약수를 보면 1,2,3,6 입니다.

공약수중 가장 큰 6이 최대 공약수 (greatest common devisor: GCD) 가 됩니다.

최대 공약수 어디에 사용하는 물건인가 ?

1)    공통 인수를 사용하면 분수 단순화, 최대 공약수(GCD) 찾기, 비율 관련 문제 해결 등 다양한 수학적 작업에 도움이 될 수 있습니다.

다양한 상황에서 공통 인수를 사용하는 방법을 살펴보겠습니다.

분수의 단순화 (최대 공약수를 이용하여) : 약분

분수 18 / 24 = 18÷6 / 24÷6 = 3/4

2)    최대 공약수 찾기

두 개 이상의 숫자의 GCD는 모든 숫자의 공통인수 중 가장 큰 숫자입니다.

이는 다양한 문제, 특히 비율을 다루거나 사물을 동일한 부분으로 나눌 때

유용할 수 있습니다.

3)    비율 관련 문제 해결

비율은 공통 인수를 사용하여 단순화할 수 있는 경우가 많습니다.

비율을 단순화하면 작업하고 비교하기가 더 쉬워집니다.

42:56 비율을 단순화합니다.

42와 56의 GCD는 14 입니다. 던순화 하면 3:4가 됩니다.

4)    공통 인수를 이해하고 사용하면 많은 수학적 문제를

더 쉽고 효율적으로 해결할 수 있습니다.

 

공배수 최소공배수

배수는 나머지를 남기지 않고 다른 숫자로 나눌 수 있는 숫자입니다.

즉, 숫자에 정수를 곱하면 해당 숫자의 배수가 됩니다.

배수를 찾는 방법 : 숫자의 배수를 찾으려면 해당 숫자에 정수(1, 2, 3, 4, ...)를 곱하면 됩니다.

 

공배수

공배수는 두 개 이상의 숫자가 공통으로 갖는 배수입니다. 최소 공배수(LCM)는 두 개 이상의 숫자가 공유하는 가장 작은 배수입니다.

공배수를 찾는 방법

각 숫자의 배수를 나열하세요.

모든 목록에 나타나는 공배수를 식별합니다.

최소공배수가 필요한 경우 가장 작은 것을 찾으세요.

4의 배수 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44

5의 배수 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45

4와 5의 공배수 는 : 20, 40, 60… 이중 가장 작은 수는 20

4와 5의 최소 공배수 (Minimum common multiful: LCM) 은 20 입니다.

 

최소공배수의 활용

5 / 14 + 8 / 21 = ?

분모 14와 21의 최소 공배수는 42입니다.

5 / 14 + 8 / 21 = 5 * 3 / 14 * 3 + 8 * 2 / 21 * 2 = 15 / 42 + 16 / 42 = 31 / 42

최소 공배수를 이용하여 통분하면 분수의 합을 구할 수 있습니다.

 

교안

꼬리를 무는 수학.docx

0.02MB

 

약수/배수

약수와 배수.docx

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